常微分方程实验
实验4 研究如下的Lorenz方程
如果你是第一次接触这个方程，相信你一定觉得它并无特别之处。千万不要小看了这个简单的问题！Lorenz方程具有重要的实际背景，它所揭示的现象---著名的Lorenz吸引子，具有重大的科学价值。本实验就将引导你进入混沌的殿堂。
吸引子实验的背景
前面研究的离散动力系统，可以看成是在持续的离散时间间隔上，一个数
量值的变化关系。如果时间的间隔可以趋于零，那么这种变化关系通常就可以
用微分方程描述。这样，很自然地就可以把一个(时间独立的)微分方程作为一
个连续的动力系统进行研究。这里我们最关注的是当时间趋于无穷时，对于某
个集合上的初始值，微分方程解的性态。
设 
是 
中的一个区域，再设 
: 
是一个光滑函数。考虑微分方程
(*)
吸引子是描述连续动力系统长期性质的重要概念。区域 的一个闭子集 F 叫 做包含 F 的吸引域 V 的吸引子，如果对开集 V 中的所有初始点 x(0), 通过 x(0)的轨道 x(t)随着 t的无限增大而接近 F。当然，应要求 F是不变的， 即 如果 x(0)是 
中的点，那么对
< 
<+
, 
都在 F中，这就意味着 F 是一些轨道的并集。 同时我们还要求 在下面的意义下是最小的，即存在一
点 
, 使得 在 F 中稠密。
具有复杂吸引子连续动力系统最简单又引人入胜的例子，就是Lorenz方程。
该系统表面上并无任何神秘之处，但它有很强的实际背景，它是长期气象预报的
一个简化模型。
在 (x,y,z) 空间中考虑我们的问题。取参数 a = 10, b = 8/3, r = 28(这
些参数值是Lorenz方程研究中的经典取法)，轨道就集中在形式非常复杂的一个
吸引子上。这个Lorenz吸引子包含两个“圆盘”，每一个都是由螺线形轨道构成
的(见下图)。
Rossler 研究了如下方程
如果固定 b=2, c=4, 当 a 取 0.375时，系统有一个带状形的吸引子(见下图)。
这个带在其内侧有一个扭转，非常象 Mobius带。
吸引子实验的进一步讨论
连续的动力系统的研究中，我们最关注的是当时间趋于无穷时，对于某个
集合上的初始值，微分方程解的性态。吸引子是描述连续动力系统长期性质的
重要概念。
平面区域上的连续动力系统，吸引子的类型是相当有限的，这时仅有的可能
是孤立点或是闭环，比较复杂的吸引子不可能发生。因此，为了找到复杂的甚至
是分形的吸引子，需要在3维或更高维的空间中考察。
Lorenz方程是具有复杂吸引子的连续动力系统。它形式简单但有很强的实际背景，它是长期气象预报的一个简化模型。
取参数 a = 10, b = 8/3, r = 28，这时轨道就集中在形式非常复杂的一个
吸引子上。这个Lorenz吸引子包含两个“圆盘”，每一个都是由螺线形轨道构成
的(见下图)。
不难看出某些轨道几乎是垂直地离开圆盘中一个而进入另一个。如果计算轨
道 x(t), 下面的性质是容易观察到的。 随着t的增加，x(t)先绕一个圆盘几圈，
然后“跳”到另一个圆盘中。绕第二个圆盘几圈，又跳回原来的圆盘，并以这样
的方式继续下去。在每个圆盘上绕的圈数是一个随机数，不同的初始点会各不相
同。这个运动似乎是一个混沌状态。特别，在吸引子的两个圆盘中最初非常接近
的点不久后就有完全不同的存在形式。对初始条件的这种敏感的依赖性的解释就
是，不可能对天气作长期的预报。
你可以选择其他的参数，通过 实验 进一步地研究它。
Rossler 方程是另外一个简单系统
如果固定 b=2, c=4, 吸引子的性质随着参数 a 的变化而变化。当 a 很小时，吸 引子是一个简单的闭曲线，但是随着 a 的增加，这个曲线就分裂成一个两圈的环， 继而分裂成四圈的环等等。这样，一类加倍的周期又出现了，当 a 到达 0.375时， 有一个带状形的吸引子(见下图)。
这个带在其内侧有一个扭转，非常象 Mobius带。你可以选择其他的参数，
通过 实验，进一步地研究和证实你所感兴趣的问题。
目前，每一个连续的动力系统都必须各自地进行研究，几乎不存在普遍
适用的理论。连续系统的吸引子非常适合计算机研究，数学家经常受到挑战
去解释在计算机屏幕上观察到的“奇异”的吸引子。
吸引子实验的使用说明
本实验提供有两个基本功能，其一是研究 Lorenz方程
其二是研究 Rossler 方程，
本实验有两个基本功能选项。如果你（在实验窗口的右上角）选择 Lorenz 方程 实验窗口的右侧将自动显示方程，而且参数被相应地自动 赋以默认的数值。你可以任意调整参数和初始值，研究和观察 你感兴趣的问题。 熟悉了本实验的使用方法，你就可以由此进入实验了。