基金优化投资模型

某校基金会得到一笔数额为M元的基金，打算将这笔钱存入银行或用于购买国库券，在n年内每年用其利息奖励优秀教师，要求各年的奖金额相同。现行银行存款及各期国库券的利率见表10.1（假设国库券每年至少发一次，但发放时间不定）。

表10.1 利率表

期限          银行存款税后年利率（%）     国库劵年利率（%）

活期                0.972 半年定期            1.664 一年定期            1.800 二年定期            1.944                            2.55 三年定期            2.160                            2.89 五年定期            2.304                            3.14

 

校基金会希望帮助解决如下问题：

（1）就单纯存款方式给出最佳方案，并将结果推广到n无限情况，对于M=5×107元，n=10年及n=12年给出具体结果。

（2）就可存款可购国库券方式给出最佳方案，并将结果推广到n无限情况，对于M=5×107元，n=10年及n=12年给出具体结果。

（3）学校在基金到位的三年后要举行百年校庆，基金会希望将该年的奖金在上一年度的基础上提高g，就M=5×107元，n=10年，g=0.2，给出具体结果。

基本假设

问题的本身尚有一些不确定的因素，比如说基金到位的时间，每年奖金发放的日期，银行利率的变动情况等。为使问题简化，我们给出如下假设：

（1）该笔资金于年底一次性到位，自下年起每年年底一次性发放奖金，每年发放的奖金额为固定的，记为yn。

（2）仅考虑购买二年、三年、五年期国库券的情况，假设三种期限的国库券每年至少发行一次，且只要想买，就一定能买到。

（3）银行存款利率和国库券的利率执行现行利率标准，且在n年内不发生变化。

（4）国库券提前支取，按同期银行存款利率记息，且收取2‰的手续费。

 

基本模型

模型一  单纯存款模型

设将一元钱存入银行k年（包括中途转存），到期时本息最多可达rk元，则假如第k年

有Mk元的存款到期，到期时取出，本息和最大可达rkMk。现将M元分成n份，分别记为M1，M2，…，Mn。将Mk存入银行k年，到期时取出，将本息和作为第k年的奖金（第n年本息和除作奖金外，还要留下原始本金M），则应有

          

上式给出了n年内每年的奖金额yn与M的比值。该式的关键在于如何求出rk，k=1，2，…，n。下面我们给出rk的算法。

设将1元钱存入银行k年，k年存期中有x1个一年期，x2个二年期，x3个三年期，x5个五年期，记Ak（x1，x2，x3，x5）为其本息和，则

Ak（x1，x2，x3，x5）=                                           (10.52)    其中  x1+2x2+3x3+5x5=k，表示年定期的资金增长系数，且
                                (10.53)

其中 pk={（x1，x2，x3，x5）| x1+2x2+3x3+5x5=k，x1，x2，x3，x5}，表示非负整数集。

上述问题可以表示为如下规划问题：

        

通过适当的变换，可以将上式转化为线性规划模型。

实际上，这个问题还可以用其它方法求解，容易看出，任意交换二个存期的次序不改变本息和。例如，先存一年期后存三年期与先存三年期后存一年期，到期时本息和是一样的。不仅如此，经计算可知以下五式成立

<b2   ,b1b2<b3 ,<b1b3  ,b2b3<b5    ,<b1b5                                      (10.54)  上式表明，存2个一年期不如一次存1个二年期，存1个一年期再转存1个二年期不如一次存1个三年期，以此类推，存2个三年期不如先存1个一年期再转存1个五年期。据此我们得到如下定理。

定理10.13  假如Ak（x1，x2，x3，x5）在（）点取得最大值，则应有

（i）≤1，≤1，≤1；

（ii）+≤1，+≤1；

（iii）+2+3≤4  

定理10.14  假如Ak（x1，x2，x3，x5）在（）点取得最大值，则应有

。    (10.55)

由定理10.14得到   

 rk=                                                                    (10.56)  

模型二可存款可购国库券模型

仍将M分成M1，M2，…，Mn共n份，Mk可作存款或购买国库券用，其本息和用作第k年的奖教金，最后一笔除作奖金外，还应留下基金本金M。

由于国库券在一年内不定期发行，为保证当有国库券时能即时买到，可以考虑将这笔钱以半年定期存入银行，若在上半年发行国库券，以活期利息提前支出，购买国库券，当国库券到期时取出，再存一个半年定期，剩余的时间以活期计息；若在下半年发行国库券，此时半年定期已到期，立即取出，购买国库券，到期时取出，剩余时间再存活期。购买国库券之前及到期取出之后的两段时间之和为一年，因此购买一个k年期的国库券实际需要k+1年。

通过分析可以得出，要获得最大的资金增值，应选择一年定期、二年定期、三年定期及三年国库券和五年国库券，而不应选择二年期国库券和五年定期存款。为了叙述方便，把买三年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个四年期存款，到期时资金增长系数为，把买五年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个六年期存款，到期时资金增长系数为。设将Mk的本息用作第k年的奖教金，k年中有x1个一年期，x2个二年期，x3个三年期，x4个四年期，x6个六年期，则到期时资金增长系数为

                     x1+2x2+3x3+4x4+6x6=k  

类似于单纯存款模型的分析，要使取最大值，只需取

                                               （10.57）

                                        （10.58）

模型三 基于百年校庆的最佳投资模型

用yn’表示第一年发的资金额，其它仍采用前面的记号及处理方法，则应有

                                                     （10.59）

令

rk的推导同模型一及模型二。

基本结果与分析

       模型一至模型三就不同情况给出了最佳投资方案，根据本题所给条件，得到具体结果如表10.2。

表10.2 最佳投资Mk分配表（单位：万元，其中=0.2）

1     2     3     4      5     6     7       8      9      10    11

125.3  122.8  119.8  117.7  115.6  108.9  106.9  104.8  102.3   129.8  127.0  124.0  120.0  117.9  112.7  110.7  108.5  105.9  102.4  100.6

1079  105.7  103.2  101.3   98.5   96.8   94.8   92.5   90.9   105.9  103.8  101.3   99.5   96.7   95.0   93.4   90.8  89.2    86.7   85.2

105.5  103.4  119.1   99.2   96.5   94.8   92.9   90.6  89.0   122.6  120.1  140.6  115.1   113.1  106.6  104.7  102.6 100.0

 

注：上表中，表示模型一的相关结果；表示模型二的相关结果；表示模型三的结果，其中第一行表示仅考虑存款方式,第二行表示可存款可购国库券方式。

分析：对于模型一，根据公式(10.51)、(10.55)及（10.56），对不同的n，分别定义为5个子序列：。可以证明上述4个序列（均为的子序列）均是单调上升的，且以为极限（=2.1963%）。

对于模型二，根据式（10.51）、（10.57）及（10.58），可得到类似的6个序列。可以证明，上列6个序列均是单调上升的，且以为极限（=2.6392%）。

对于模型三，根据式（10.51）得

对于仅考虑存款方式：

对于可存款可购国库券情况： 

 。

虽然各年存款没有规律性，但当充分大时，结果基本与前两种情况类似。