谈《高等数学》中极限概念的研究性教学
莫玉忠

摘要： 由实际问题引出极限概念的定性描述，由定性描述逐级转化成定量描述，归纳得到数学极限的“”定义，并通过对定义的分析来揭示其内涵，使学生逐步掌握极限思想方法的教学方法．
关键词：极限概念；定量描述；“”定义．

        极限法是《高等数学》中最基本最重要的数学思想方法之一，其包含着深刻的数学和哲学内涵，突出表现了高度的抽象性和逻辑体系的严密性，融合了常量与变量、有限与无限、精确与近似、已知与未知、任意与确定、具体与抽象、静态与动态的对立统一，它为物理学、工程技术学科、社会经济学及数学学科自身等领域的发展奠定了坚实的理论基础。极限思想贯穿微积分学的始终，极限概念作为微积分的开始是理工农医类等专业大学一年级学生接触到的第一个重要而高度抽象的数学概念，能否使学生正确理解极限概念的内涵、外延、掌握其定义法将直接影响到他们对高等数学学习的好恶和效果。本人就大学时期学习高等数学的体会和多年从事高等数学教育的经验，针对极限概念的教学给出自己的做法，以求有识者商榷。
一、极限概念的外延及数学极限内容编排体系认识
极限概念的外延极其宽泛，它可以是物质上的，精神上的，也可以是意识形态上的。概括地说：极限是指某一事物或事态在一些内、外部因素的变化过程中引起这一事物或事态的变化趋势。抽象到数学上来，就是：有依赖关系的变量（即函数）中，由于几个变量的变化引起另一变量的变化趋势。任一极限都包含两个变化过程，一个是自变量的变化过程，另一个是因变量的变化过程。
一般的《高等数学》教材对极限部分内容体系的编排都先介绍特殊函数的极限数列极限，作为老师的我简单说明了自己是如何理解这样的编排：（1）数列是函数的一种特殊的情形，从特殊到一般是处理问题的一种常用方式；（2）数列的自变量只有一而且是一个非常直观的无限变化趋势，其情况单一便于说明问题，也便于初学者集中注意力理解极限的本质，（３）理解数列极限概念的定义法，过渡到一般函数的极限定义不再有本质的区别，只是随对象的不同，形式上作部分改动而已，让学生有了一个明确的学习线索．
二、数列极限的定性分析和定性描述定义
引例：《庄子天下篇》中的截杖问题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”即：一根木棍，每天截取余下的一半，世世代代都取不完，于是得到数列：

当天数无限增大时，剩余木棰之长（数列的项）逐渐地无限靠近0，即：当时，。
再看几个数列及其极限：时
（1）、数列：；
（4）、数列：；
（3）、数列：；
（4）、数列：；
上述数列中，剩余木棰之长及（1）、（2）数列，它们的项数无限增大时，数列的项都无限地趋近于某一个确定的数，这时我们把这一确定的数称为该数列的极限，或说该数列收敛于这一确定的数，而（3）和（4）两个数列，要么趋于要么趋近值不唯一，我们说它们没有极限，或者说它们是发散的，但为了研究上的方便，也常说“”是数列（3）的极限。由此可以给数列极限下个定性的定义。
定义1对于给的一个无穷数列：

如果当项数无限增大时，对应的项无限地趋近于某一确定的数，那么就说数列的极限是。
这样就使学生对数列极限获得了比较深刻的感性认识。
数列极限的定性描述定义对学生理解数学极限概念无疑是十分有利的，但定义中出现的“无限增大”“ 无限趋近”这样的词比较含糊，它不便人们对数学极限进行深入细致的分析研究和推广应用，这种定义法对数学而言是不严密的，因此，我们有必要在定性描述的基础上进一步寻求精确的数学语言来定量刻画数列极限概念。
三、数列极限的定量描述和“”定义
现以数列为例给数列极限作定量分析。
借助数轴将数列的动态变化过程直观表现出来：随着项数的增大，数列的项从1的左右两边无限地趋近于数1，即数列{}的极限为1。
对此，可以将数列极限的定性描述逐级向定量化描述过渡：

（1）当时，（即数列的极限1）

（2）项数越大，数列的项越靠近1

（3）只要充分大，与1之间的距离可以小于任意指定的正数

（4）从某一项以后的任一项与1之间的距离都小于任意给定的正数（不管这数多么小）。
（5）对任给的正数，总能找到某一项，此一项后的任一项与1之间的距离都小于。
如此无穷多个越来越小、相对固定的正数，就是数列越来越趋近于实数的定量描述。
以上是数列极限为的五种等价描述法且越往后越接近数量化．启用数学符号“”、“”，由（5）很自然地引出数列极限为1的“”定义：当时，有．于是可归纳得如下的数列极限的“”定义．
定义　设是一个数列，是确定的常数。若对，总，
使得当时，总有成立，则称数列的极限是，记为
或
即：，，当时，总有
四、深入分析，揭示数列极限 “”定义的内涵
数列极限的“”定义语言精练，可操作性强，但它也是一个蕴含深刻辩证法、逻辑结构复杂、极抽象的数学概念，要让学生真正理解掌握好，还需要结合典型例子对定义中的各符号含意、符号间的关系分析透彻。
(1).“”是客观存在的常数，并且是唯一的。
如果这样的数不存在或不唯一，那么数列是没有极限的。如数列和数列。
(2).“”是任意给定的正数,是用于刻画数列的项与其极限的接近程度，它多么小都行。
只有“任意” 的，才能体现越来越靠近这样一个动态变化过程；而只有“给定”才好说明某一瞬间“靠近”程度的相对大小，从而才可以相对地确定从哪一项以后数列的项与的靠近程度是指定的大小。由此可见，这里的应具有绝对的任意性和相对的稳定性，是变量和常量的辩证统一体。
(3).表示数列中的某一项的项次,它的确定依赖于“”，但不唯一。
从数列极限的“”定义形成的分析过程不难发现，表示数列项数的的字母与“”密切相关的自然数，对于指定的，通过解不等式，会得到的取值范围，就可以知道哪些项与靠近程度不大小，取其中的某一项的项数都可作为，如取或大于自然数的其它自然数，我们知道从这一项以后的所有项与靠近程度都是不大小的。所以说的确定依赖于，但它不唯一。一般来说，越小，满足不等式的项越靠后，从而代表第几项的项次越大。
(4). “当时，总有”的几何意义是对任给的正数，在数列中总能找到某一项，从这一项以后的所有项（有无穷多项）都在邻域内，且越往后，数与越靠近，而数列中至多只有开头的前项落在此邻域外。
最后，要说明某数列的极限是实数，只要说明：对于任意给定的正数，数列中存在某一项，如第项，此项后的所有项都满足不等式，能找出这样的即可，它不一定是满足条件中的最小一个。一般是通过解不等式来确定的。
例 证明=0
证法一：对解不等式，得
（设）
这就是说：对任意给定的，数列中项次大于以后的所有项都满足不等式，因此，可取为。
于是，对，，当时，总有，
即，=0。
在寻求的过程中，必要的时候也可以先放大，这样可能更简便快捷地把确定下来，只不过它不再是满足条件的最小那一个＂＂了。
上例，对同样的，先放大：

然后，可由（因为成立，也成立），解得，
于是，可取，它明显比由法一找到的大，这没关系，能说明它存在才是关键的。
五、结束语
本文从极限思想方法的数学和哲学内涵说起，由实际问题引入数列极限的定性描述定义，再将定性描述逐步向定量描述转化，归纳得到数列极限的定量描述的“”定义-，然后对“”定义作深入分析．让学生逐步理解掌握数学极限理论的思想方法，培养了学生分析问题和解决问题的逻辑思维能力．