高等数学教学中开展研究性学习的案例分析
陈璟 李洁坤

摘要：本文从高等数学教学的特点及现状出发，通过案例分析、探讨了研究性学习在高等数学教学中的开展与应用。
关键词：研究性学习，高等数学，程序
0 引言
研究性学习是学生在教师的指导下对学习内容进行探索研究的一种学习方法，其主要特征是教学内容的问题化和教学过程的探索化.研究性学习是培养学生创新能力的一种重要手段.
传统教学中，学生主体性不断丧失，学生越来越多地依赖于教师，依赖于课本和练习，因此新一轮教改呼唤研究型课程的到来和研究性学习的实施.在数学习题的教学中，让学生孤立片面地解决一个个数学习题，绝对是低效的教学方法，相反，运用运动变化、普遍联系的观点去分析、观察、探索数学问题，寻求习题之间的变化和联系，是提高教学效率的一种有效途径。题目不在于做得多，而在于开发其价值.
        在教学中，如何开展“研究性学习”的教学活动，许多老师已做了大量的实践.笔者在高等数学的教学过程中，根据高等数学教学大纲和学生的现状，在某些章节课例上适当进行研究性学习的教学探索，其教学目的是:(1)让学生学会提出问题和明确探究方向;(2)体验数学活动过程;(3)培养学生的创新精神;(4) 拓宽和延伸学生的知识面。
1 案例一
零点定理是高等数学课程中的一个重要定理.在科学技术问题中，经常会遇到求解高次代数方程或其他类型的方程的问题。要求得这类方程的实根的精确值，往往比较困难，因此就需要寻求方程的近似解。而利用零点定理的理论，得出的二分法就为我们求出这类高次方程的近似解提供了一个很好的方法。但现在的大多数高等数学教材中，对利用二分法来求高次方程的解只是给出了一个解题思想，具体怎样用计算机来帮我们完成并没有给出答案，笔者就引导学生利用VisualBasic知识编写程序来得出这一类问题的答案。从而不仅提高了学生学习数学的兴趣，还培养了学生的创新能力，使学生的课堂知识得到延伸。
二分法：设在区间上连续，，且方程在内仅有一个实根，于是即是这个根的一个隔离区间。
取的中点，计算。
如果，那么；
如果与同号，那么取，由，即知，且；
如果与同号，那么取，也有，且；
总之，当时，可求得，且；
以作为新的隔离区间，重复上述方法，当当时，可求得，且
如此重复次，可求得，且。
由此可知，如果以作为的近似值，那么其误差小于。
用此方法来求解方程的近似解理论上是可行的，但操作起来却很复杂，并且随着方程复杂性会影响到求解的难度，由此引导学生是否可以用计算机编写程序的方法来完成，因此我们利用简单易懂的计算机语言VisualBasic来完成复杂的计算过程。
如：试证明方程在区间内有唯一的实根，并用二分法求这个根的近似值，使误差不超过0.01。
令，因，且，函数在是单调增加的，由零点定理可知方程在内有唯一的实根，下面用VisualBasic编写程序来完成它的求解过程。
在“VB”环境下，只要画出界面，输入根据程序框图编写的程序代码，就能判断方程解的范围，计算出方程的近似解，在计算机上操作可以反复进行，有利于理解二分法的含义。
Private Sub Command1_Click()
a = Val(Text1.Text)
b = Val(Text2.Text)
e = Val(Text3.Text)
fa = a ^ 5 + 5 * a + 1
fb = b ^ 5 + 5 * b + 1
If fa = 0 Then Text4.Text = a
If fb = 0 Then Text4.Text = b
If fa * fb > 0 Then
t = MsgBox("求解范围错!请重新输入!",65 , "出错了!")
Else
Do
x = (a + b) / 2
f = x ^ 5 + 5 * x + 1
If f * fa > 0 Then
a = x: fa = f
Else
b = x: fb = f
End If
Loop Until f = 0 Or Abs(b - a) < e
Text4.Text = Int(x / e + 0.5) * e
End If
End Sub
Private Sub Command2_Click()
End
End Sub
通过学生在计算机上验证，提高了学生自主学习的能力、动手能力和创新能力，拓宽了学生的知识面。
2 案例二
众所周知，由于不定积分不能用初等数学表示，所以定积分就算不出来。根据牛顿－莱布尼兹公式，定积分的值可以通过求原函数而计算出来，但在工程技术与科学实验中，有些定积分的被积函数的原函数可能求不出来，即使求出，计算也可能很复杂；特别地，当被积函数是用图形或表格给出时，更不能用牛顿－莱布尼兹公式计算。因此必需寻求定积分的近似计算方法，根据定积分的几何意义就是曲线，直线 ?及轴所围的面积，因此有下述近似计算方法。
梯形法：梯形法就是把曲边梯形分成若干窄小曲边梯形，然后用相应的窄小梯形来近似代替窄小曲边梯形，以窄小梯形的面积之和作为曲边梯形的近似值。具体做法如下：
用分点?将区间分成个等长的小区间，每个小区间的长度记为 ，设函数对应于各分点的函数值为
每一个窄小矩形的面积为
从而有　　(1)　

1. 式称为梯形法公式。

虽然有了公式（1），但手动计算都必须进行大量的计算，而复杂程度随着函数的不同而不同，因此这里同样引导学生利用计算机编程来完成。
与牛顿迭代法的误差估计类似，在编程计算定积分时可采用如下方法估计误差。
记，误差限为，逐步计算，若，则以作为的近似值。
如计算积分，实现该方法的VisualBasic程序如下。

Public Function mathzcm(ByVal a!, ByVal b!, ByVal n%) As Single
Dim sum!, h!, x!
h = (b - a) / n
sum = (F(a) + F(b)) / 2
For i = 1 To n - 1
x = a + i * h
sum = sum + F(x)
Next i
mathzcm = sum * h
End Function
'另行定义自己需要的a,b,n的值……
Public Function F(ByVal x!)
F = Exp(-(x * x))
End Function

Private Sub Command1_Click()
a = 0
b = 1
n = 4
e = Val(Text1.Text)
Do
sum1 = mathzcm(a, b, n)
sum2 = mathzcm(a, b, n + 1)
r = sum2 - sum1
n = n + 1
Loop Until Abs(r) < e
Text2.Text = sum2
End Sub

Private Sub Command2_Click()
End
End Sub
经过程序的运行，不难得出答案。
3 结论
通过上述两例可以看出，在高等数学的教学过程中，教师在数学教学中注意学生思维的横向推广和纵向深入，使二者有机结合有利于保证学生在数学学习中思维的流畅性，并做到反应灵敏，思路畅通，联想丰富；注意在高等数学的教学中，适当选择教学内容，引导学生尽其所能，通过学生自己动手，结合现代技术，使问题得以解决，从而激发学生的学习兴趣，加强了学生的动手能力，使学生的学习得到不断的提高，也充分说明了研究性学习在数学教学中对学生具有非常重要的地位。

[参考文献]：
[1]．同济大学应用数学系,高等数学[M],高等教育出版社,2002年7月第5版
[2]. 谭浩强,袁玫,薛淑斌编著,Visual Basic程序设计[M],清华大学出版社,,2004年8月第二版
[3]. 杨耕文,微分中值定理的研究性学习[J], 洛阳大学学报, 2005年12月(99-101)